d = \frac{1}{2} a t^{2}

v⃗ = \frac{dx⃗}{dt}

a⃗ = \frac{dv⃗}{dt} = \frac{d^{2}x⃗}{dt^{2}}

a⃗ = \frac{dv⃗}{dt}  ⟹  v⃗ = ∫ a⃗ dt

v⃗ = a⃗ ∫ dt

v⃗ = v⃗_{i} + a⃗ t

v⃗ = \frac{dx⃗}{dt}  ⟹  x⃗ = ∫ v⃗ dt

x⃗ = ∫ (v⃗_{i} + a⃗ t) dt

x⃗ = ∫ v⃗_{i} dt + ∫ a⃗ t dt

x⃗ = x⃗_{i} + v⃗_{i} t + \frac{1}{2}a⃗ t^{2}

x⃗ = x⃗_{i} + \frac{1}{2}(v⃗_{i} + v⃗_{f}) t

v_{f}^{2} − v_{i}^{2} = 2 a⃗ (x⃗_{f} − x⃗_{i})